Question

【題目】已知橢圓：（）．下面表格所確定的點(diǎn)中，恰有三個(gè)點(diǎn)在橢圓上．

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（1）求橢圓的方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，分別為的上下頂點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)的右頂點(diǎn)，且與的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線，相交于點(diǎn)，若與軸的交點(diǎn)異于，，證明為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此兩點(diǎn)必在橢圓上，故有，將剩余兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得關(guān)于a與b的方程，與上式聯(lián)立通過(guò)判斷解的情況即可判斷出那個(gè)點(diǎn)在橢圓上，進(jìn)而求出方程；

（2）設(shè)直線l的方程為：，由題易得 ，聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得：，由韋達(dá)定理得到和的表達(dá)式，

設(shè)點(diǎn)，直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，

聯(lián)立直線AC的方程和直線BD的方程得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，

而，即可證明為定值．

（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此兩點(diǎn)必在橢圓上，

故有①，

將點(diǎn)代入中得，，解得：，

再將代入①中得：，解得：；

再將點(diǎn)代入中得，②，聯(lián)立①②得：，顯然無(wú)解；

綜上，，，所以橢圓的方程為：；

（2）由題意作圖如下：

設(shè)直線l的方程為：，由條件知：，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，

則點(diǎn)，向量，

設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立直線l與橢圓E的方程，消去y得：，

所以，

直線AC的方程為：③，

直線BD的方程為：④，

設(shè)點(diǎn)，由③④，得：，

又點(diǎn)在直線l上，所以：

，

則向量，

所以，

故為定值.