【題目】若中心在原點的橢圓與雙曲線有共同的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),圓的直徑是橢圓的長軸,C是橢圓的上頂點,動直線AB過C點且與圓交于A、B兩點,CD垂直于AB交橢圓于點D.

(1)求橢圓的方程;

(2)求面積的最大值,并求此時直線AB的方程.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)求得雙曲線的焦點坐標(biāo)和離心率,由此求得橢圓的值,進而求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.2)當(dāng)直線斜率不存在時,不能構(gòu)成三角形,不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在且不為零時,設(shè)出直線的方程,得到直線的方程,計算圓心到直線的的距離,由直線和圓相交的弦長公式計算出弦長.利用直線的方程和橢圓方程,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式,計算出弦長.由此求得,利用換元法和基本不等式,求得面積的最大值,根據(jù)基本不等式等號成立的條件求得直線的斜率,由此求得直線的方程.當(dāng)直線的斜率為零時,計算出,不是最大值.

(1)解:雙曲線的焦點為,離心率為 ,

由題意,,解得:

.橢圓方程為 ;

(2)解:當(dāng)直線AB斜率不存在時,不能構(gòu)成三角形,不符合題意

當(dāng)AB斜率存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為,直線CD的方程為

圓心到直線AB的距離為,

直線AB被圓所截得的弦長,

得:

,,

,

,

,則,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,

此時,

當(dāng)直線AB斜率為0,即軸時,,

面積的最大值為,這時直線AB的方程為.

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    1 2

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