Question

13．已知橢圓C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P是橢圓C上一點(diǎn)，且|PF₂|=|F₁F₂|，直線PF₁與圓x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求解三角形得到F₂到PF₁所在直線距離，進(jìn)一步得到O到PF₁所在直線距離，結(jié)合直線PF₁與圓x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切列式求得橢圓的離心率．

解答 解：如圖，
設(shè)直線PF₁與圓x²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$相切于G，連接OG，
過F₂作F₂H⊥PF₁于H，
∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-2c，則|PH|=a-c，
∴$|{F}_{2}H|=\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}-|PH{|}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-（a-c）^{2}}=\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$．
∴|OG|=$\frac{1}{2}\sqrt{3{c}^{2}+2ac-{a}^{2}}$=$\frac{c}{2}$．
即3c²+2ac-a²=c²，
∴2e²+2e-1=0，解得e=$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$（舍）或e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．