Question

8．已知函數(shù)f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-lnx．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）求證：$\frac{2×1+1}{1×2}$+$\frac{2×2+1}{2×3}$+…+$\frac{2n+1}{n（n+1）}$＞ln（n+1）（n∈N^•）．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到f′（1），再求得f（1），代入直線方程點(diǎn)斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，得ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)a后利用基本不等式求得a的取值范圍；
（3）由（2）得到lnx$＜x-\frac{1}{x}$，取$x=\frac{n+1}{n}$，得到ln（n+1）-lnn$＜\frac{2n+1}{n（n+1）}$，然后累加得答案．

解答 （1）解：當(dāng)a=1時，f（x）=x-$\frac{1}{x}-lnx$，
∴f（1）=0，
又f′（1）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=1，
從而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1；
（2）解：∵f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
只需f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，
也就是a$≥\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$恒成立．
由于$x+\frac{1}{x}≥2$，得$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$．
∴a$≥\frac{1}{2}$；
（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=1時，f（x）=（x-$\frac{1}{x}$）-lnx在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又f（1）=0，
∴f（x）＞f（1）=0，
即當(dāng)x＞1時，（x-$\frac{1}{x}$）-lnx＞0，lnx$＜x-\frac{1}{x}$成立．
不妨令$x=\frac{n+1}{n}$，
∴$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{n+1}{n}-\frac{n}{n+1}=\frac{2n+1}{n（n+1）}$，
即ln（n+1）-lnn$＜\frac{2n+1}{n（n+1）}$，
由此，得ln2-ln1$＜\frac{2×1+1}{1×2}$，
ln3-ln2$＜\frac{2×2+1}{2×3}$，
…
ln（n+1）-lnn$＜\frac{2n+1}{n（n+1）}$，
以上n個式子累加可得：
ln（n+1）＜$\frac{2×1+1}{1×2}+\frac{2×2+1}{2×3}+…+\frac{2n+1}{n（n+1）}$，即得原不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用單調(diào)性證明函數(shù)不等式，是壓軸題．