Question

3．設(shè)α是銳角，若sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$+sinα，則cos（2α-$\frac{π}{6}$）=（　　）

• A． $\frac{12}{25}$
• B． $\frac{24}{25}$
• C． -$\frac{24}{25}$
• D． -$\frac{12}{25}$

Answer 1

分析 利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，可求范圍α-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，0），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（α-$\frac{π}{3}$），利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinα，從而可求cosα，利用倍角公式可求cos2α，sin2α，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 解：∵sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{4}{5}$+sinα，
∴可得：sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∵α是銳角，
∴α-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，0），
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=[（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（α-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（α-$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
∴cos2α=2cos²α-1=$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$，sin2α=2sinαcosα=$\frac{24-7\sqrt{3}}{50}$，
∴cos（2α-$\frac{π}{6}$）=cos2αcos$\frac{π}{6}$+sin2αsin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×$　$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{24-7\sqrt{3}}{50}$=$\frac{24}{25}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，倍角公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．