Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
（1）若B=60°，a=（$\sqrt{3}$-1）c，求角A大�。�
（2）若c=1，且△ABC面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求角C最大值．

Answer 1

分析 （1）用A表示C，使用正弦定理將邊化角，整理得出tanA，從而計算出A；
（2）求出邊c上的高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用面積公式和余弦定理分別求出sinC，cosC，得出tanC關于a，b的關系式，根據基本不等式得出tanC取得最大值的條件，利用勾股定理解出a，b，得出C的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=（$\sqrt{3}-1$）c，∴sinA=（$\sqrt{3}-1$）sinC．
∵B=60°，∴C=120°-A．
∴sinA=（$\sqrt{3}-1$）sin（120°-A）=（$\sqrt{3}-1$）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA），
∴（1+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$）sinA=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$cosA，即sinA=cosA，
∴tanA=1，∴A=$\frac{π}{4}$．
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴ab=$\frac{\sqrt{3}}{2sinC}$．
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{\sqrt{3}}$sinC．．
∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{{a}^{2}+^{2}-1}$．
∵ab=$\frac{\sqrt{3}}{2sinC}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2ab}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{2ab}$≤1，解得ab≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a²+b²≥2ab$≥\sqrt{3}$，∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{{a}^{2}+^{2}-1}$＞0．∴C是銳角．
∴當a²+b²=2ab即a=b時，tanC取得最大值．此時，△ABC是等腰三角形．
設三角形ABC的邊AB上的高為h，
則S=$\frac{1}{2}ch=\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a=b=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，故△ABC是等邊三角形．
∴C的最大值為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的應用，屬于中檔題．