Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最值及相應的x值；
（2）若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有兩個不同的零點x₁，x₂，試求x₁+x₂的值及相應m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的最值，得出結論．
（2）當m∈（1，2）時，根據(jù)x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{π}{2}$，求得x₁+x₂的值；當m∈（-2，1）時，根據(jù)x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{3π}{2}$，求得 x₁+x₂的值．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），令x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得x=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，可得函數(shù)的最大值為2；
令x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，求得x=2kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z，可得函數(shù)的最小值為-2．
（2）當x∈[0，2π]時，x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，2]．
若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有兩個不同的零點x₁，x₂，
令z=x+$\frac{π}{6}$，畫出f（x）=2sinz的圖象，數(shù)形結合可得，
當m∈（1，2）時，x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{π}{2}$，即 x₁+x₂=$\frac{2π}{3}$；
當m∈（-2，1）時，x₁+$\frac{π}{6}$+x₂+$\frac{π}{6}$=2•$\frac{3π}{2}$，即 x₁+x₂=$\frac{8π}{3}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．