Question

19．已知圓C₁：x²+y²-6x-6=0，圓C₂：x²+y²-4y-6=0
（1）試判斷兩圓的位置關系；
（2）求公共弦所在的直線的方程；
（3）求公共弦的長度．

Answer 1

分析 （1）將兩圓化成標準方程，得到它們的圓心和半徑，用兩點距離公式求出圓心距，最后用圓心距離與兩圓的半徑和與差進行比較，即可得到兩圓的位置關系；
（2）兩圓的一般式方程相減，再化簡整理得到3x-2y=0，即為兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求出第一個圓的圓心到直線3x-2y=0的距離，再結合垂直于直徑的弦的性質，即可得到兩圓的公共弦長．

解答 解：（1）圓C₁：x²+y²-6x-6=0，化為（x-3）²+y²=15，圓心坐標為（3，0），半徑為$\sqrt{15}$；
圓C₂：x²+y²-4y-6=0化為x²+（y-2）²=10，圓心坐標（0，2），半徑為$\sqrt{10}$．
圓心距為：$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
因為$\sqrt{15}$-$\sqrt{10}$＜$\sqrt{13}$＜$\sqrt{15}$+$\sqrt{10}$，
所以兩圓相交．
（2）將兩圓的方程相減，得-6x+4y=0，
化簡得：3x-2y=0，
∴公共弦所在直線的方程是3x-2y=0；
（3）由（2）知圓C₁的圓心（3，0）到直線3x-2y=0的距離d=$\frac{9}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{9}{\sqrt{13}}$，
由此可得，公共弦的長l=2$\sqrt{15-\frac{81}{13}}$=$\frac{2\sqrt{1482}}{13}$．

點評 本題給出兩個定圓，求它們的公共弦所在直線方程并求弦長，著重考查了圓的標準方程與一般方程、圓與圓的位置關系和直線與圓的位置關系等知識，屬于基礎題．