Question

（2012•珠海一模）已知函數f（x）=x³-ax²+2x，x∈R
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若x∈（2，+∞）時，f(x)＞

1

2

x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用根的判別式，結合導數的正負，可得f（x）的單調區(qū)間；
（2）x∈（2，+∞）時，f(x)＞

1

2

x恒成立，等價于x∈（2，+∞）時，x+

3

2x

＞a，求出左邊對應函數的最值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+2，△=（-2a）²-4×3×2=4a²-24
①當△≥0，即a≤-

6

或a≥

6

時，f（x）在R上為增函數
②當△＜0，即-

6

＜a＜

6

時，f′（x）=3x²-2ax+2有兩個零點x₁，x₂，
且x1=

a- a2-6

3

，x2=

a+ a2-6

3

此時f（x）的單調增區(qū)間為：(-∞，

a- a2-6

3

)，(

a+ a2-6

3

，+∞)
單調減區(qū)間為：(

a- a2-6

3

，

a+ a2-6

3

)
（2）x∈（2，+∞）時，f(x)＞

1

2

x恒成立，等價于x∈（2，+∞）時，x3-ax2+2x＞

1

2

x恒成立，等價于x∈（2，+∞）時，x3+

3

2

x＞ax2恒成立，等價于x∈（2，+∞）時，x+

3

2x

＞a，
令g(x)=x+

3

2x

，則g′(x)=1-

3

2x2

，x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
故x∈（2，+∞），g(x)＞g(2)=

7

4

，所以a≤

7

4

．

點評：本題考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．