Question

15．已知正四棱錐V-ABCD底面中心為O，E，F(xiàn)分別為VA，VC的中點，底面邊長為2，高為4，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求異面直線BE與DF所成角的正切值．

Answer 1

分析 以底面正方形ABCD中心O為原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OV為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BE與DF所成角的正切值．

解答 解：以底面正方形ABCD中心O為原點，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OV為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），
V（0，0，4），E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），F(xiàn)（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}，2$），
設(shè)向量BE和DF成角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{DF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$|=|$\frac{-\frac{1}{2}-2+4}{\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}•\sqrt{\frac{1}{2}+2+4}}$|=$\frac{3}{13}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{13}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{13}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
∴異面直線BE與DF所成角的正切值為$\frac{4\sqrt{10}}{13}$．

點評 本題考查異面直線所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．