Question

9．如圖，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，$DC=2AB=2，DA=\sqrt{3}$．
（1）線段BC上是否存在一點E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，請給出$\frac{BE}{CE}$的值，并進行證明；若不存在，請說明理由．
（2）若$PD=\sqrt{3}$，線段PC上有一點F，且PC=3PF，求直線AF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DE，PE，BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中點，從而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，從而得出BC⊥平面PDE，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；
（2）建立如圖所示的坐標系，求出平面PBC的法向量，即可求直線AF與平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（1）$\frac{BE}{CE}$=1時，平面PBC⊥平面PDE．
證明：連結(jié)DE，PE，BD，∠BAD=90°，AB=1，DA=$\sqrt{3}$，
∴BD=DC=2a，E為BC中點，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PDE；
∵BC?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）建立如圖所示的坐標系，則D（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），
∵PC=3PF，∴F（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y=0}\\{2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）．
∴直線AF與平面PBC所成角的正弦值=|$\frac{-\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{8}×\sqrt{\frac{43}{9}}}$|=$\frac{3\sqrt{258}}{172}$．

點評 本題考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．．