Question

19．已知圓的圓心在曲線y²=x上，且與直線x+2y+6=0相切，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+1）²=5．

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程與拋物線y²=x相切，求出切點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)，平行線之間的距離為半徑，寫(xiě)出圓的方程即可．

解答 解：直線x+2y+b=0與拋物線y²=x的相切時(shí)說(shuō)起的圓的半徑最小，
可得：y²+2y+b=0，則△=4-4b=0，解得b=1，此時(shí)直線x+2y+1=0與拋物線相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-1），
直線x+2y+1=0到直線x+2y+6=0的距離d=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，即圓的半徑為$\sqrt{5}$．
所以圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=5．
故答案為：（x-1）²+（y+1）²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，求圓的方程確定出圓的圓心和半徑是關(guān)鍵．