Question

【題目】已知函數(shù),的最小正期為.

(1)求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)方程在上有且只有一個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在實(shí)數(shù)滿足對任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡得，再利用周期公式求得的值，從而得到的解析式，再利用整體代入求單調(diào)區(qū)間；

（2）方程;在上有且有一個(gè)解,轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）由(1)可知,則；實(shí)數(shù)滿足對任意,都存在,使得成立，即成立，再將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題.

(1)函數(shù)

∵的最小正周期為.∴,∴.

那么的解析式

令得:

∴的單調(diào)增區(qū)間為.

(2)方程;在上有且有一個(gè)解,

轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn).

∵,∴

因?yàn)楹瘮?shù)在上增,在上減,

且，

∴或,所以或.

(3)由(1)可知,∴.

實(shí)數(shù)滿足對任意,都存在,

使得成立.

即成立

令

設(shè),那么

∵,∴,

可得在上恒成立.

令,其對稱軸，

∵上,

∴①當(dāng)時(shí),即,,解得;

②當(dāng),即時(shí),,解得;

③當(dāng),即時(shí),,解得;

綜上可得,存在,可知的取值范圍是.