Question

20．（I）求|2x-1|+|2x+3|＜5的解集；
（II）設a，b，c均為正實數(shù)，試證明不等式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}≥\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$，并說明等號成立的條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅰ）根據(jù)$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，當且僅當a=b時等號成立，同理得到其它，相加即可得以證明．

解答 解：（Ⅰ）由|2x-1|+|2x+3|＜5，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{1-2x-2x-3＜5}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x+2x+3＜5}\end{array}\right.$②，$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1+2x+3＜5}\end{array}\right.$，③，
解①求得x∈∅，解②求得-$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{3}{4}$，
綜上可得，不等式|2x-1|+|2x+3|＜5的解集為{x|-$\frac{3}{2}$≤x＜$\frac{3}{4}$}；
（Ⅱ）證明：∵a，b，c均為正實數(shù)，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2b}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ab}}$≥$\frac{1}{a+b}$，當且僅當a=b時等號成立；
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{bc}}$≥$\frac{1}{b+c}$，當且僅當b=c時等號成立；
$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{2c}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{ac}}$≥$\frac{1}{c+a}$，當且僅當a=c時等號成立；
三個不等式相加，得$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}≥\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}$，當且僅當a=b=c時等號成立．

點評 本題考查了絕對值值不等式的解法和基本不等式的應用，關鍵是掌握其性質，并注意等號成立的條件，屬于中檔題．