Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p為常數(shù)，n=1，2，3…）．
（1）求S_n；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)p的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}滿足：可以從中取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由2a_n+1=2a_n+p，得a_n+1-a_n=$\frac{p}{2}$，可知數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以$\frac{p}{2}$為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案；
（2）由數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，得${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．結(jié)合已知求出a₂，a₃，代入可得p；
（3）當(dāng)p=0時(shí)，由（1）及a₁=1，得$\frac{1}{{a}_{n}}=1$（n=1，2，3，…），即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列．當(dāng)p=0，滿足題意．當(dāng)p≠0時(shí)，利用反證法證明，從數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}不能取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．

解答 解：（1）由2a_n+1=2a_n+p，得a_n+1-a_n=$\frac{p}{2}$．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，以$\frac{p}{2}$為公差的等差數(shù)列，
則${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）}{2}×\frac{p}{2}=\frac{p}{4}{n}^{2}+（1-\frac{p}{4}）n$；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$．
∵a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，
∴2a₂=2a₁+p=2+p，2a₃=2a₂+p=2+2p．
∴$（1+\frac{p}{2}）^{2}=1×（1+p）$，得p=0；
（3）當(dāng)p=0時(shí)，由（1）及a₁=1，得$\frac{1}{{a}_{n}}=1$（n=1，2，3，…），
即數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列．
∴當(dāng)p=0，滿足題意．
當(dāng)p≠0時(shí)，∵a₁=1，2a_n+1=2a_n+p，即a_n+1-a_n=$\frac{p}{2}$．
下面用反證法證明，當(dāng)p≠0，從數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}不能取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．
假設(shè)存在p₀≠0，從數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}可以取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成一個(gè)等差數(shù)列．不妨記為{b_n}，
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d．
（1）當(dāng)p₀＞0時(shí)，a_n＞0（n=1，2，3，…），
∴數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的遞減數(shù)列，則d＜0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，
∴當(dāng)n＞1-$\frac{_{1}}p5xgktb$，即n-1＞$-\frac{_{1}}dn045fq$，即（n-1）d＜-b₁時(shí)，b_n=b₁+（n-1）d＜b₁-b₁=0，這與b_n＞0矛盾．
（2）當(dāng)p₀＜0時(shí)，令$\frac{{p}_{0}}{2}n+1-\frac{{p}_{0}}{2}＜0$，解得n$＞1-\frac{2}{{p}_{0}}$，
當(dāng)$n＞1-\frac{2}{{p}_{0}}$時(shí)，a_n＜0恒成立，
∴數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，則d＞0．
∵b_n=b₁+（n-1）d，∴b_n=b₁+（n-1）d＞$_{1}+（1-\frac{_{1}}l99kibk-1）d=0$，與b_n＜0矛盾．
綜上所述，p=0是唯一滿足條件的p的值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，難度較大．