Question

某企業(yè)生產一種產品，由于受技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗，其次品率Q與日產量x（萬件）之間大體滿足關系：Q=

1 2(12-x) ，1≤x≤a 1 2 ，a＜x≤11

，（其中a為常數，且1＜a＜11）．
（注：次品率=次品數/生產量，如P=0.1表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）．已知每生產1萬件合格的產品可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元．
（Ⅰ）試將生產這種產品每天的盈利額P（x）（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（Ⅱ）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）每天的贏利為P（x）=日產量（x）×正品率（1-Q）×2-日產量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到；
（Ⅱ）當x≤a＜11時，設12-x=t，利用基本不等式可得x=9時，等號成立，故可分類討論得：當1＜a＜9時，當x=a時，最大利潤為

45a-4a2

2(12-a)

萬元當9≤a＜11時，x=9時，最大利潤為

27

2

萬元．

解答： 解：（Ⅰ）每天的贏利為P（x）=日產量（x）×正品率（1-Q）×2-日產量（x）×次品率（Q）×1，
整理即可得到P（x）=

45x-4x2 2(12-x) ，1≤x≤a 1 2 x，a＜x≤11

；
（Ⅱ）當x≤a＜11時，設12-x=t，則y=

51

2

-2（t+

9

t

）≤

27

2

當且僅當t=3，x=9時，等號成立．
當1＜a＜9時，當x=a時，最大利潤為

45a-4a2

2(12-a)

萬元
當9≤a＜11時，x=9時，最大利潤為

27

2

萬元．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，并且利用基本不等式求得函數的最值問題，也考查了分段函數的問題，是中檔題．