已知橢圓的離心率為，兩焦點之間的距離為4．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過橢圓的右頂點作直線交拋物線于A、B兩點，

（1）求證：OA⊥OB；

（2）設(shè)OA、OB分別與橢圓相交于點D、E，過原點O作直線DE的垂線OM，垂足為M，證明|OM|為定值．

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,進(jìn)而求出b，問題解決.

（II）（1）若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為

然后與拋物線方程聯(lián)立，消去y轉(zhuǎn)化為,

借助韋達(dá)定理證明即可.

斜率不存在的情況要單獨考慮.

(2) 設(shè)、，直線的方程為，代入，得．于是．

，．可得．

再證明原點到直線的距離為定值

解：（Ⅰ）由得，故． ………………………3分

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……………………………4分

（Ⅱ）（1）若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為……………5分

代入拋物線方程整理得

設(shè)點A（）點B（），則，………7分

所以 ……………………………………………9分

若直線斜率不存在，則A（4,4）B（4，-4），同樣可得…………10分

（2）設(shè)、，直線的方程為，代入，得．于是．從而，．得．∴原點到直線的距離為定值…15分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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