Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+b）lnx，y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=3x平行．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)$g（x）={e^x}（\frac{f（x）}{x+2}-2a）$（a≠0），且g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知，曲線y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，求導(dǎo)數(shù)，代入計(jì)算，即可得出結(jié)論；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知，曲線y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為3，
所以f′（1）=3，又f′（x）=lnx+$\frac{x}$+1，
即ln1+b+1=3，所以b=2．
（2）由（1）知g（x）=e^xlnx-2ae^x，
所以g′（x）=（$\frac{1}{x}$+lnx-2a）e^x（x＞0），
若g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，則g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}+lnx-2a≤0$，所以2a≥$\frac{1}{x}$+lnx．
令h（x）=$\frac{1}{x}$+lnx（x＞0），則h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由h'（x）＞0，得x＞0，h'（x）＜0，得0＜x＜1，
故h（x）在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則$\frac{1}{x}+lnx→+∞$，h（x）無(wú)最大值，g'（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
故g（x）在（0，+∞）不可能是單調(diào)減函數(shù)．
若g（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}+lnx-2a≥0$，所以2a≤$\frac{1}{x}$+lnx，
由前面推理知，h（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的最小值為h（1）=1，
∴2a≤1，故a的取值范圍是a$≤\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．