【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，平面平面ABC，點(diǎn)D在線段BC上，且，E，F分別為線段PC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是PD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：.

（2）當(dāng)平面PAC時(shí)，求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 連接PF,先證明平面PDF,再證明即可.

(2) F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FH.FA,FP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,再根據(jù)空間向量中直線與平面夾角的方法求解即可.

（1）證明：連接PF,因?yàn)?/span>,F為AB的中點(diǎn),

所以.

又平面平面ABC,平面平面,

所以平面ABC,從而.

設(shè)BC的中點(diǎn)H,因?yàn)?/span>,DF是的中位線,

所以.

同理可知,所以

所以平面PDF

因?yàn)?/span>平面PDF,所以

（2）解：連接GH,因?yàn)?/span>FH是的中位線,所以.

因?yàn)?/span>平面PAC,平面PAC,所以平面PAC.

又因?yàn)?/span>平面PAC, ,所以平面平面PAC

因?yàn)槠矫?/span>PBC分別與平面FGH與PAC相交于GH,PC,

所以,且

易知FH,FA,FP兩兩垂直,以F為坐標(biāo)原點(diǎn),以FH.FA,FP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz,如圖所示,

則.

設(shè)平面EFG的法向量為,

由得,取,得

又,設(shè)PA與平面EFG所成角為

則

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【題目】在如圖的空間幾何體中，是等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，，為中點(diǎn).

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（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.

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（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；

（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.

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A. B. C. D.

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【題目】某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無(wú)下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面，制作時(shí)需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為.

（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1）；

（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？

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【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從四所高校中選2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在三校中再隨機(jī)選1所；而同學(xué)乙和丙對(duì)四所高校沒(méi)有偏愛，因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.

（�。┣蠹淄瑢W(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；

（ⅱ）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在下列命題中,正確的命題有________(填寫正確的序號(hào))

①若,則的最小值是6;

②如果不等式的解集是,那么恒成立;

③設(shè)x,,且,則的最小值是;

④對(duì)于任意,恒成立,則t的取值范圍是;

⑤“”是“復(fù)數(shù)()是純虛數(shù)”的必要非充分條件;

⑥若,,,則必有;

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【題目】如圖，在四棱柱中，底面，，，且，. 點(diǎn)E在棱AB上，平面與棱相交于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）寫出三棱錐體積的取值范圍. （結(jié)論不要求證明）

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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（=1,2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.








46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中，=

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：

（ⅰ）年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

（ⅱ）年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù),，……，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

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