Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過其左焦點F作x軸的垂線，交雙曲線于A，B兩點，若雙曲線的右頂點在以AB為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{3}{2}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由右頂點M在以AB為直徑的圓的外，得|MF|＞|AF|，將其轉化為關于a、b、c的式子，再結合平方關系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＜0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），則直線AB方程為：x=-c，
因此，設A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac{^{2}}{a}$，得|AF|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵雙曲線的右頂點M（a，0）在以AB為直徑的圓外，
∴|MF|＞|AF|，即a+c＞$\frac{^{2}}{a}$，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＞0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＜0，
∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．
故選：B．

點評 本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當左焦點在此圓內(nèi)時求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．