Question

20．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M，若|MF₂|=|F₁F₂|，則雙曲線C的漸近線方程是（　　）

• A． y=±x
• B． $y=±\sqrt{3}x$
• C． $y=±\frac{1}{2}x$
• D． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$

Answer 1

分析 由題意知直線F₁B的方程為y=$\frac{c}x+b$，分別與雙曲線的漸近線聯(lián)立，得到P，Q的坐標，從而得到PQ的中點坐標，進而求出PQ的垂直平分線方程，推導出a與b的等量關系，由此能求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：由題意知直線F₁B的方程為y=$\frac{c}x+b$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{c}x+b}\\{\frac{{x}^{\;}}{{a}^{\;}}-\frac{{y}^{\;}}{^{\;}}=0}\end{array}\right.$，得Q（$\frac{ac}{c-a}，\frac{bc}{c-a}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x+b}\\{\frac{x}{a}+\frac{y}=0}\end{array}\right.$，得P（-$\frac{ac}{c+a}，\frac{bc}{c+a}$），
∴PQ的中點為（$\frac{{a}^{2}c}{^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$），
∴PQ的垂直平分線方程為y-$\frac{{c}^{2}}$=-$\frac{c}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{^{2}}$），
令y=0，得x=c（1+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$），∴（1+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）=3c，
∴a²=2b²，
∴雙曲線C的漸近線方程y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的合理運用．