Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為$\frac{4π}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，圓半徑為r，由已知得|OC|=|CE|=r，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)2x+y-4=0的垂直線(xiàn)段OF，交AB于D，交直線(xiàn)2x+y-4=0于F，則當(dāng)D恰為AB中點(diǎn)時(shí)，圓C的半徑最小，即面積最小．

解答 解：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，圓半徑為r，
由已知得|OC|=|CE|=r，
過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)2x+y-4=0的垂直線(xiàn)段OF，
交AB于D，交直線(xiàn)2x+y-4=0于F，
則當(dāng)D恰為OF中點(diǎn)時(shí)，圓C的半徑最小，即面積最�。�
此時(shí)圓的直徑為O（0，0）到直線(xiàn)2x+y-4=0的距離為：
d=$\frac{|-4|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
此時(shí)r=$\frac{1}{2}d$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
∴圓C的面積的最小值為：S_min=π×（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{4π}{5}$．
故答案為$\frac{4π}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查圓的面積的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．