Question

8．點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到直線(xiàn)l：x=2的距離的比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡．
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M到直線(xiàn)$\frac{x}{{\sqrt{2}}}$+y=1的距離最大？最大距離是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求出軌跡方程，即可求點(diǎn)M的軌跡．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)m平行于直線(xiàn)l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，聯(lián)立橢圓方程，令關(guān)于y方程（t-y）²=1-y²的根的判別式為零解得t，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|2-x|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化簡(jiǎn)得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1
所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為2$\sqrt{2}$，2的橢圓．
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)m平行于直線(xiàn)l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，聯(lián)立橢圓方程，消去x，可得（t-y）²=1-y²，
令關(guān)于y方程（t-y）²=1-y²的根的判別式為零解得t=$±\sqrt{2}$．
當(dāng)t=-$\sqrt{2}$時(shí)直線(xiàn)m與橢圓的交點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離最遠(yuǎn)，d=$\frac{|1+\sqrt{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．