Question

10．已知冪函數(shù)f（x）=${x}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈N）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在[0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求函數(shù) f （x）的解析式；
（2）若f（2x²-1）＞f（3x-2），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列不等式求出m的值，從而求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，把f（2x²-1）＞f（3x-2）化為2x²-1＞3x-2，求出解集即可．

解答 解：（1）因?yàn)?nbsp;f （x）為冪函數(shù)且在[0，+∞）上為增函數(shù)，
所以-m²+2m+3＞0，即m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3；
又因?yàn)閙∈N，
所以m=0或m=1或m=2；
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）為奇函數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)m=0或m=2滿足題意，
所以f（x）=x³；
（2）由題意知，f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，
所以由f（2x²-1）＞f（3x-2）可得2x²-1＞3x-2，
即2x²-3x+1＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞1；
所以x的取值范圍是x＜$\frac{1}{2}$或x＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是中檔題．