Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的圖象如圖 所示
（1）求c，d的值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f（x）的圖象與y=

1

3

f′（x）+5x+m的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且f'（1）=0建立等式，即可求出c和d的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為3x+y-11=0可得f′（2）=-3且f（2）=5，解方程組即可求出函數(shù)的解析式；
（3）可轉(zhuǎn)化為：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三個(gè)不等實(shí)根，即g（x）=x³-7x²+8x-m與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，使極大值大于0，極小值小于0，求出m的范圍即可．

解答：解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b
（1）由圖可知  函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且f'（1）=0
得

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

?

d=3 c=0

（2）依題意f′（2）=-3且f（2）=5

12a+4b-3a-2b=-3 8a+4b-6a-4b+3=5

解得a=1，b=-6
所以f（x）=x³-6x²+9x+3
（3）f′（x）=3x²-12x+9
可轉(zhuǎn)化為：x³-6x²+9x+3=（x²-4x+3）+5x+m有三個(gè)不等實(shí)根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m與x軸有三個(gè)交點(diǎn)；
g′（x）=（3x-2）（x-4）
當(dāng)x∈（-∞，

2

3

），g′（x）＞0，
當(dāng)x∈（

2

3

，4），g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（4，+∞），g′（x）＞0
∴g（

2

3

）=

68

27

-m，g（4）=-16-m
當(dāng)且僅當(dāng)g（

2

3

）=

68

27

-m＞0且g（4）=-16-m＜0時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，
故-16＜m＜

68

27

為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．