Question

3．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（4，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，-1），O為坐標(biāo)原點，P是直線AB上一點．
（Ⅰ）若點P是線段AB的中點，求向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OP}$夾角θ的余弦值；
（Ⅱ）若點P在線段AB的延長線上，且|${\overrightarrow{AP}}$|=$\frac{3}{2}$|${\overrightarrow{PB}}$|，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）利用中點坐標(biāo)公式可得P，再利用向量夾角公式即可得出．
（II）設(shè)P（x，y），由點P在線段AB的延長線上，且$|{\overrightarrow{AP}}|=\frac{3}{2}|{\overrightarrow{PB}}|$，可得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BP}$，即$（{x-4，y-3}）=\frac{3}{2}（{x-2，y+1}）$，利用向量相等即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵點P是線段AB的中點，∴點P的坐標(biāo)為$（{\frac{2+4}{2}，\frac{3-1}{2}}）$，即（3，1），
則$\overrightarrow{OP}=（{3，1}）$．
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OP}}|}}$=$\frac{4×3+3×1}{{\sqrt{{4^2}+{3^2}}×\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}$=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$． 
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），由點P在線段AB的延長線上，且$|{\overrightarrow{AP}}|=\frac{3}{2}|{\overrightarrow{PB}}|$，
得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BP}$，∴$（{x-4，y-3}）=\frac{3}{2}（{x-2，y+1}）$，
即$\left\{\begin{array}{l}2x-8=3x-6\\ 2y-6=3y+3\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-9\end{array}\right.$，
∴點P的坐標(biāo)為（-2，-9）．

點評 本題考查了向量的線性運算及其坐標(biāo)運算性質(zhì)、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．