Question

10．已知a＜0，解關(guān)于x的不等式ax²+（2-a）x-2＞0．

Answer 1

分析 不等式可因式分解為（ax+1）（x-1）＞0，
由a＜0，左右兩邊同時(shí)除以a，得$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
進(jìn)而討論$-\frac{1}{a}$和1的大小，寫出對(duì)應(yīng)的解集．

解答 解：不等式ax²+（2-a）x-2＞0可化為（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＜0，左右兩邊同時(shí)除以a，得
$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
比較$-\frac{1}{a}$和1的大小，得：
①當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，∵$-\frac{1}{a}＞1$，且原不等式可化為$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
∴其解集為$\left\{{x|1＜x＜-\frac{1}{a}}\right\}$；
②當(dāng)a=-1時(shí)，∵$1=-\frac{1}{a}$，且原不等式可化為（x-1）²＜0，其解集為∅；
③當(dāng)a＜-1時(shí)，∵$1＞-\frac{1}{a}$，且原不等式可化為$[{x-（-\frac{1}{a}）}]（x-1）＜0$，
∴其解集為$\left\{{x|-\frac{1}{a}＜x＜1}\right\}$；
綜上：當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，解集為$\left\{{x|1＜x＜-\frac{1}{a}}\right\}$；
當(dāng)時(shí)a=-1，解集為∅；
當(dāng)a＜-1時(shí)，解集為$\left\{{x|-\frac{1}{a}＜x＜1}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用分類討論法求含有字母系數(shù)的一元二次不等式的問題，是基礎(chǔ)題目．