Question

4．已知直線(xiàn)y=kx（k∈R）與函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-（\frac{1}{4}）^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}+2（x＞0）}\end{array}\right.$的圖象恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，如圖：設(shè)切點(diǎn)為（a，f（a）），求出切線(xiàn)的斜率即可求出實(shí)數(shù)k的最大值．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，如圖：設(shè)切點(diǎn)為（a，f（a））．
∵f′（x）=x，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+2}{a}$=a，
解得a=2，
∴k=f′（2）=2，
當(dāng)k＞2時(shí)，且x＞0，y=kx與y=$\frac{1}{2}$x²+2有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時(shí)，y=kx，與y=3-（$\frac{1}{4}$）總有一個(gè)交點(diǎn)，
∴k＞2，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與作圖能力，屬于中檔題．