Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AC，AD的中點(diǎn)．

（1）求證：DC平面ABC；

（2）設(shè)，求三棱錐A－BFE的體積．

 

Answer 1

（1）證明：見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）注意分析折疊前后變化的關(guān)系及不變化的關(guān)系.在圖甲中可得；

在圖乙中，可得AB⊥CD．根據(jù)DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．

（2）首先根據(jù)E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點(diǎn)，得到EF//CD，根據(jù)（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，從而得到

在圖甲中，根據(jù)給定角度及長(zhǎng)度，計(jì)算“不變量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，

利用體積公式計(jì)算即得所求．

解答本題的關(guān)鍵是確定“垂直關(guān)系”，這也是難點(diǎn)所在，平時(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)化意識(shí)的培養(yǎng)，等體積轉(zhuǎn)化的方法，是立體幾何中常用方法之一.

（1）證明：在圖甲中∵且 ∴，

即 1分

在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD

4分

又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分

（2）【解析】
， 7分

又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分

所以， 9分

在圖甲中，

由得，， 10分

，

11分

12分

考點(diǎn)：平行關(guān)系，垂直關(guān)系，幾何體的體積.