Question

已知直線y=ax+2與圓x²+y²+2x-3=0相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x₀，y₀）在直線y=2x上，且PA=PB，則x₀的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由題意可得CP垂直平分AB，且 y₀=2x₀．直線垂直的關(guān)系，解得x₀與a的關(guān)系，把直線y=ax+2代入圓x²+y²+2x-3=0化為關(guān)于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范圍，從而可得x₀的取值范圍．

解答： 解：圓x²+y²+2x-3=0 即 （x+1）²+y²=4，表示以C（-1，0）為圓心，半徑等于2的圓．
∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，
∵P（x₀，y₀）在直線y=2x上，
∴y₀=2x₀．
 又CP的斜率等于

2x0

x0+1

，
∴

2x0

x0+1

•a=-1，解得 x₀=

-1

2a+1

．
把直線y=ax+2代入圓x²+y²+2x-3=0可得，（a²+1）x²+（4a+2）x+1=0．
由△=（4a+2）²-4（a²+1）＞0，
即12a²+16a＞0，
得a＞0或a＜-

4

3

．
∴-1＜

-1

2a+1

＜0，或 0＜

-1

2a+1

＜

3

5

．
故x₀的取值范圍為 （-1，0）∪（0，

3

5

），
故答案為：（-1，0）∪（0，

3

5

）

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．利用直線和圓的位置關(guān)系結(jié)合判別式△是解決本題的關(guān)鍵．