Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并給予證明；

（Ⅲ）閱讀右邊的程序框圖，請結(jié)合試題背景簡要描述其算法功能，并求出執(zhí)行框圖所表達的算法后輸出的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 當時，取得極小值，無極大值

(2) 函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.,根據(jù)構(gòu)造函數(shù)思想，利用端點值函數(shù)值異號判定。

(3) 輸出的值為4

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分

當時，；當時，.……………3分

當時，取得極小值，無極大值.……………4分

（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.    ……………5分

證明如下：

∵，

，

，

函數(shù)在區(qū)間上必定存在零點.      ………6分

∵，當時，，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，             8分

∴函數(shù)在區(qū)間上的零點最多一個.    ……9分

綜上知：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點．

（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數(shù),使的零點滿足.               …10分

∵，

當時，；

當時，.   ……11分

又在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當時，；當時，.………13分

輸出的值為4． …………………………………14分

考點：函數(shù)極值，函數(shù)零點，框圖

點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、零點、算法初步等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。