Question

18．已知點(diǎn)R是圓心為Q的圓（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N（$\sqrt{3}$，0）為定點(diǎn)，線段RN的中垂線與直線QR交于點(diǎn)T，設(shè)T點(diǎn)的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）做直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）判斷點(diǎn)T的軌跡C是以Q，N為焦點(diǎn)的橢圓，利用條件求解橢圓方程．
（2）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立方程組通過(guò)平方差法求解直線的斜率，然后求解直線方程．

解答 解：（1）由題意，$Q（-\sqrt{3}，0）$，圓Q的半徑r=4．|TQ|+|TN|=|TQ|+|TR|=|QR|=4，（4＞|QN|=2$\sqrt{3}$）
∴點(diǎn)T的軌跡C是以Q，N為焦點(diǎn)的橢圓．…．（2分）
設(shè)C的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵2a=4，∴a=2，又$c=\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=1．
∴點(diǎn)T的軌跡C的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…．（5分）
（2）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）…（7分）
又∵$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，∴${k_l}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{-4（{y_1}+{y_2}）}}=\frac{x}{-4y}=\frac{y-0}{x-1}$．…．（9分）
化簡(jiǎn)得：x²-x+4y²=0（y≠0）…．（11分）
②當(dāng)x₁=x₂時(shí)M（1，0），也適合上式，
故線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：x²-x+4y²=0…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，平方差法的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，計(jì)算能力．