Question

12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{n（n+1）}{2（2n+1）}$，推證當(dāng)n=k+1等式也成立時，用上歸納假設(shè)后需要證明的等式是（　　）

• A． $\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$
• B． $\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2k+3}$
• C． $\frac{k（k+1）}{（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$
• D． $\frac{k（k+1）}{2（2k+3）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$

Answer 1

分析 首先由題目假設(shè)n=k時等式成立，再用k+1替換，即可得到結(jié)果

解答 解：假設(shè)n=k時成立，即為：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k+1）（2k-1）}$=$\frac{k（k+1）}{2（2k+1）}$，
那么當(dāng)n=k+1時，需要證明，$\frac{k（k+1）}{2（2k+3）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$，
故選：D．

點評 此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念問題，涵蓋知識點少，屬于基礎(chǔ)性題目．需要同學(xué)們對概念理解記憶．