Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與F₂重合，A為曲線C與E的一個(gè)焦點(diǎn)，|AF₁|=$\frac{7}{3}$，|AF₂|=$\frac{5}{3}$，且∠AF₂F₁為銳角．
（1）求橢圓C和拋物線E的方程；
（2）若動點(diǎn)M在橢圓C上，動點(diǎn)N在直線l：y=2$\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，探究原點(diǎn)O到直線MN的距離是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意定義求得a，由|AF₁|=$\frac{7}{3}$，|AF₂|=$\frac{5}{3}$，結(jié)合拋物線焦半徑求得c，則橢圓方程與拋物線方程可求；
（2）求出M為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)O到MN的距離，當(dāng)OM的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)M（x₀，y₀），則${k}_{OM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，得到ON所在直線方程，求得N的坐標(biāo)，得到MN所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到MN的距離得答案．

解答 解：（1）由題意，2a=|AF₁|+|AF₂|=$\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$，得a=2
設(shè)A（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則（x+c）²+y²=$\frac{49}{9}$，（x-c）²+y²=$\frac{25}{9}$，
兩式相減可得：xc=$\frac{2}{3}$，
由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=$\frac{5}{3}$，
∴c=1，x=$\frac{2}{3}$或x=1，c=$\frac{2}{3}$（舍去）．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
拋物線E的方程為y²=4x；
（2）如圖，當(dāng)M為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，|OM|=2，|ON|=$2\sqrt{3}$，|MN|=4，
此時(shí)O到MN的距離為$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$；
當(dāng)OM的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)M（x₀，y₀），則${k}_{OM}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴${k}_{ON}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，直線ON所在直線方程為y=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{3}}\\{y=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}x}\end{array}\right.$，解得N（$-\frac{2\sqrt{3}{y}_{0}}{{x}_{0}}$，$2\sqrt{3}$）．
${k}_{MN}=\frac{{y}_{0}-2\sqrt{3}}{{x}_{0}+\frac{2\sqrt{3}{y}_{0}}{{x}_{0}}}=\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-2\sqrt{3}）}{{{x}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}{y}_{0}}$，
MN所在直線方程為$y-{y}_{0}=\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-2\sqrt{3}）}{{{x}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}{y}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
即$（{x}_{0}{y}_{0}-2\sqrt{3}{x}_{0}）x-（{{x}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}{y}_{0}）y+2\sqrt{3}（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）=0$．
原點(diǎn)O到直線MN的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}）|}{\sqrt{（{x}_{0}{y}_{0}-2\sqrt{3}{x}_{0}）^{2}+（{{x}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}{y}_{0}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}（{{{x}_{0}}^{2}}_{+}{{y}_{0}}^{2}）}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+12}•\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+12}}$=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+3-\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+12}}$=$\sqrt{3}$．
∴原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值$\sqrt{3}$．
綜上，原點(diǎn)O到直線MN的距離為定值$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．