【題目】已知實數(shù)a,b,c滿足a,b,c∈R+
(Ⅰ)若ab=1,證明:( + 2≥4;
(Ⅱ)若a+b+c=3,且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,求x的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)證明:∵ab=1,∴( + 2=a2+b2+2≥2ab+2=4; (Ⅱ)解:( + + 2≤(1+1+1)(a+b+c)=9,
+ + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,
∴9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3,
∴|2x﹣1|﹣|x﹣2|≥6,
x< ,不等式化為﹣2x+1+x﹣2≥6,∴x≤﹣7,∴x≤﹣7,
,不等式化為2x﹣1+x﹣2≥6,∴x≥3,不成立;
x>2,不等式化為2x﹣1﹣x+2≥6,∴x≥5,∴x≥5;
綜上所述,x≤﹣7或x≥5
【解析】(Ⅰ)利用基本不等式,即可證明結論;(Ⅱ)( + + 2≤(1+1+1)(a+b+c)=9, + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,可得9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3,分類討論,即可求x的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點,需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構造法,函數(shù)單調性法,數(shù)學歸納法等才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)設f(x)有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x1)+f(x2)>﹣5.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某縣共有戶籍人口60萬人,該縣60歲以上、百歲以下的人口占比13.8%,百歲及以上的老人15人.現(xiàn)從該縣60歲及以上、百歲以下的老人中隨機抽取230人,得到如下頻數(shù)分布表:

年齡段(歲)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,99)

人數(shù)(人)

125

75

25

5


(1)從樣本中70歲及以上老人中采用分層抽樣的方法抽取21人進一步了解他們的生活狀況,則80歲及以上老人應抽多少人?
(2)從(1)中所抽取的80歲及以上的老人中,再隨機抽取2人,求抽到90歲及以上老人的概率;
(3)該縣按省委辦公廳、省人民政府辦公廳《關于加強新時期老年人優(yōu)待服務工作的意見》精神,制定如下老年人生活補貼措施,由省、市、縣三級財政分級撥款. ①本縣戶籍60歲及以上居民,按城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險實施辦法每月領取55元基本養(yǎng)老金;
②本縣戶籍80歲及以上老年人額外享受高齡老人生活補貼.
(a)百歲及以上老年人,每人每月發(fā)放345元生活補貼;
(b)90歲及以上、百歲以下老年人,每人每月發(fā)放200元的生活補貼;
(c)80歲及以上、90歲以下老年人,每人每月發(fā)放100元的生活補貼.
試估計政府執(zhí)行此項補貼措施的年度預算.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知三棱錐P﹣ABC的各頂點都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的體積為 (球的體積公式為 R3 , 其中R為球的半徑),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則三棱錐P﹣ABC的體積為(
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,如圖2,將△ABD沿BD折起來,使平面ABD⊥平面BCD,設E為AD的中點,F(xiàn)為AC上一點,O為BD的中點.
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;、
(Ⅱ)若三棱錐A﹣BEF的體積為 ,求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , Sn=2an﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下面四個命題中,真命題是( ) ①從勻速傳遞的產品生產流水線上,質檢員每30分鐘從生產流水線中抽取一件產品進行某項指標檢測,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣;
②兩個變量的線性相關程度越強,則相關系數(shù)的值越接近于1;
③兩個分類變量X與Y的觀測值κ2 , 若κ2越小,則說明“X與Y有關系”的把握程度越大;
④隨機變量X~N(0,1),則P(|X|<1)=2P(X<1)﹣1.
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值;
(2)求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知關于的不等式的解集為;

(1)若,求的取值范圍;

(2)若存在兩個不相等負實數(shù)、,使得,求實數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù),滿足:“對于任意,都有,對于任意的,都有”,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.

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