Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

1+x2

（a≠0），當a＜0，且函數(shù)在[-1，1]上的值域為[-3，3]，求a．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求f（x）在[-1，1]上的值域，根據(jù)已知的值域[-3，3]即可求出a．

解答： 解：f′（x）=

a(1+x2)-ax•2x

(1+x2)2

=

a(1-x2)

(1+x2)2

；
x∈[-1，1]時，1-x²≥0，又a＜0；
∴f′（x）≤0
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴函數(shù)f（x）的值域為：[f（1），f（-1）]=[

a

2

，-

a

2

]=[-3，3]；
∴

a

2

=-3，∴a=-6．

點評：考查根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．