Question

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)分別為a，b，c，又（a²+b²）c=

6

，側(cè)面PAB與底面ABC所成的角為60°，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：V=

1

6

abc≤

1

12

(a2+b2)c=

6

12

，當(dāng)a=b時(shí)取“=“，即a=b時(shí)，三棱錐的體積最大．過P作底面ABC的垂線，垂足為O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D，并連接PD，能夠說明∠PDC是側(cè)面PAB和底面ABC所成二面角的平面角，所以∠PDC=60°．在直角三角形中，根據(jù)邊角的關(guān)系可求得c=

6 a

2

，所以V=

6 a3

12

=

6

12

，這樣即可求得a．

解答： 解：如圖，根據(jù)已知條件得：V=

1

6

abc≤

1

12

(a2+b2)c=

6

12

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”；
過P作底面ABC的垂線，垂足為O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于D；
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P；
∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB；
∴PC⊥AB，即AB⊥PC；
又PO⊥底面ABC，AB?底面ABC；
∴PO⊥AB，即AB⊥PO，PC∩PO=P；
∴AB⊥平面PCO，CO?平面PCO；
∴AB⊥CO，即AB⊥CD，連接PD，∵AB⊥PO，AB⊥CD，CD∩PO=O；
∴AB⊥平面PCD，PD?平面PCD；
∴AB⊥PD，∴∠PDC是側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∴∠PDC=60°；
在Rt△PAB中，PA=PB=a，∴PD=

2 a

2

；
∴在Rt△PCD中，∠CPD=90°，∠PDC=60°，∴PC=c=PDtan60°=

2 a

2

•tan60°=

6 a

2

；
∴V=

1

6

abc=

6 a3

12

=

6

12

，∴a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式：a²+b²≥2ab，三棱錐的體積公式，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，二面角，二面角的平面角．