Question

5．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+n+4，若b₁，b₃，b₆成等比數(shù)列，且b₂=a₈．
（1）求a_n，b_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•_{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，運用等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}•_{n}}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
由b_n=a_n+n+4，若b₁，b₃，b₆成等比數(shù)列，
可得b₁b₆=b₃²，
即為（a₁+5）（a₆+10）=（a₃+7）²，
由b₂=a₈，即a₂+6=a₈，
可得d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{2}}{8-2}$=1，
則（a₁+5）（a₁+5+10）=（a₁+2+7）²，
解得a₁=3，
則a_n=a₁+（n-1）d=3+n-1=n+2；
b_n=a_n+n+4=n+2+n+4=2n+6；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}•_{n}}$=$\frac{1}{（n+2）（2n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），
則前n項和S_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$）=$\frac{n}{6n+18}$．

點評 本題考查等差數(shù)列通項公式的運用，等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．