Question

在二項式（

1

2

+2x）ⁿ的展開式中．
（Ⅰ）若第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（Ⅱ）若前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）由題意可得

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，求得n=7，或n=14．可得展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（Ⅱ）由

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，設二項式（

1

2

+2x）¹² 的展開式中第k+1項的系數(shù)最大，則由

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

 求得k的值，從而得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）若第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則有

C

4 n

+

C

6 n

=2

C

5 n

，
求得n=7，或n=14．
當n=7時，二項式系數(shù)最大的項為T₄，T₅，且T₄=

C

3 7

•(

1

2

)4•（2x）³=

35

2

x³，T₅=

C

4 7

•(

1

2

)3•（2x）⁴=70x⁴．
當n=14時，二項式系數(shù)最大的項為T₈=

C

7 14

•(

1

2

)7•（2x）⁷=3432x⁷．
（Ⅱ）由于前三項的二項式系數(shù)和等于79，即

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=79，求得n=12，
設二項式（

1

2

+2x）¹²=(

1

2

)12•（1+4x）¹²  的展開式中第k+1項的系數(shù)最大，
則有

C k 12 •4k ≥C k-1 12 •4k-1 C k 12 •4k ≥C k+1 12 •4k+1

，求得9.4＜k＜10，∴k=10，
即第11項的系數(shù)最大．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬基礎題．