Question

已知f(x)=

sin2x-2sin2x

1-tanx

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅲ）當cos(

π

4

+x)=

3

5

時，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可知對函數(shù)f（x）的解析式，分母不等于0，進而求得x的范圍，函數(shù)的定義可得．利用二倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中求得函數(shù)的定義域以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的最小值，根據(jù)定義域可知函數(shù)無最大值．
（Ⅲ）利用誘導公式和二倍角公式把sin2x轉(zhuǎn)化成-2cos2(x+

π

4

)+1，把cos(

π

4

+x)的值代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由1-tanx≠0得x≠kπ+

π

4

(k∈Z)．又x≠kπ+

π

2

(k∈Z)
∴函數(shù)的定義域為{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}．
∵f(x)=

sin2x-2sin2x

1-tanx

=

cosx•2sinx(cosx-sinx)

cosx-sinx

=sin2x，
∴f（x）的最小正周期為π
（Ⅱ）∵函數(shù)的定義域為{x|x∈R，且x≠kπ+

π

4

，x≠kπ+

π

2

(k∈Z)}
∴2x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）無最大值．
∴當x=kπ-

π

4

(k∈Z)時，函數(shù)f（x）最小值為-1
（Ⅲ）∵cos(

π

4

+x)=

3

5

∴f(x)=sin2x=-cos(2x+

π

2

)=-2cos2(x+

π

4

)+1=-2×

9

25

+1=

7

25

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，誘導公式和二倍角公式的化簡求值，函數(shù)的定義域問題．考查了考生對所學知識的綜合運用．