Question

5．已知圓的半徑為$\sqrt{10}$，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4$\sqrt{2}$．
（1）求圓的方程．
（2）對(duì)于（1）中圓心在第一象限的圓C，從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心（a，2a），由弦長公式求得弦心距d=$\sqrt{2}$，由點(diǎn)到直線的距離公式d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|，由此能求出圓的方程．
（2）由已知切線PM與半徑CM垂直，從而得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x+4y+5=0．|PM|的最小值就是|PO|的最小值，|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線2x+4y+5=0的距離，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵圓心在直線y=2x上，∴設(shè)圓心（a，2a），
∵圓的半徑為$\sqrt{10}$，圓被直線x-y=0截得的弦長為4$\sqrt{2}$，
∴由弦長公式求得弦心距d=$\sqrt{10-8}$=$\sqrt{2}$，
再由點(diǎn)到直線的距離公式得 d=$\frac{|a-2a|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|a|=$\sqrt{2}$，
解得a=±2，∴圓心坐標(biāo)為（2，4），或（-2，-4），又半徑為$\sqrt{10}$，
∴所求的圓的方程為：（x-2）²+（y-4）²=10或（x+2）²+（y+4）²=10．
（2）圓心在第一象限的圓C為（x-2）²+（y-4）²=10，
∵從圓C外一點(diǎn)P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，
∴切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，∴|PO|²=|PC|²-|CM|²，
∴（x₁-2）²+（y₁-4）²-10=x₁²+y₁²．
∴2x₁+4y₁+5=0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x+4y+5=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線2x+4y+5=0的距離d=$\frac{|5|}{\sqrt{4+16}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=\frac{5}{4}}\\{2{x}_{1}+4{y}_{1}+5=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-$\frac{1}{2}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．