Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2cos²A）和Q（sin²A，-1）分別在角α、角β的終邊上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{4}$，已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．
（1）求tan（α+β）；
（2）若a=3，求BC邊上的高的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量的運(yùn)算得到sin²A-2cos²A=$\frac{1}{4}$，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，即可求出cos²A=$\frac{1}{4}$，sin²A=$\frac{3}{4}$，得到P，Q的坐標(biāo)，再根據(jù)任意三角函數(shù)的定義，求出tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{4}{3}$，利用正切的和差公式計(jì)算即可；
（2）由（1）求出A的大小，由余弦定理和基本不等式得到bc≤9，設(shè)高為h，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah，繼而得到h的取值范圍，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）點(diǎn)P（1，2cos²A）和Q（sin²A，-1）分別在角α、角β的終邊上，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin²A-2cos²A=$\frac{1}{4}$，
即cos²A=$\frac{1}{4}$，sin²A=$\frac{3}{4}$
∴P（1，$\frac{1}{2}$）和Q（$\frac{3}{4}$，-1），
∴tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{4}{3}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{2}×\frac{4}{3}}$=$-\frac{1}{2}$
（2）由（1）知∵△ABC為銳角三角形，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理，可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=9，
∴2bc-bc≤9，
即bc≤9，
設(shè)BC上的高為h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$ah，
∴h=$\frac{bc}{a}$•sinA≤$\frac{9}{3}•$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$
故BC邊上的高的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理的運(yùn)用，向量的數(shù)量積德運(yùn)算，任意三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，以及兩角和差的正切公式，基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題．