Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個不同的零點，
（Ⅰ） 求實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)f（x）的極值點為x=x₀，證明：對任意的x＞0，恒有不等式f（x₀+x）＞f（x₀-x）成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（lna+x）-f（lna-x）（x＞0），求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵f′（x）=e^x-a，
若a≤0，必有f′（x）=e^x-a＞0，
即f（x）在R遞增，不可能有2個零點，
∴a＞0，
令f′（x）=e^x-a＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（lna）=a-alna，
要使f（x）=e^x-ax有2個零點，
必有a-alna＜0，解得：a＞e；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：x₀=lna，（a＞e），
設(shè)g（x）=f（lna+x）-f（lna-x）（x＞0）
=[e^lna+x-a（lna+x）]-[e^lna-x-a（lna-x）]
=a（e^x-e^-x-2x），
g′（x）=a（e^x+e^-x-2）≥2a$\sqrt{{e}^{x}{•e}^{-x}}$-2a=0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時“=”成立，
但x＞0，故g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)x＞0時，恒有g(shù)（x）＞g（0）=0，
即不等式f（x₀+x）＞f（x₀-x）恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性零點問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．