Question

11．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q為常數(shù)）．
（1）當(dāng)p，q滿足什么條件時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求證：對任意實數(shù)p、q，數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q為常數(shù)）．只要a_n+1-a_n=2pn+p+q為與n無關(guān)的常數(shù)即可．
（2）由（1）可得：a_n+1-a_n=2pn+p+q，是關(guān)于n的一次函數(shù)，即可證明．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn²+qn（p，q∈R，且p，q為常數(shù)）．
∴a_n+1-a_n=p（n+1）²+q（n+1）-（pn²+qn）=2pn+p+q，
當(dāng)2p=0時，即p=0時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為q，公差為p+q．
（2）證明：由（1）可得：a_n+1-a_n=2pn+p+q，是關(guān)于n的一次函數(shù)，
因此對任意實數(shù)p、q，數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義通項公式及其等差數(shù)列的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．