Question

3．已知A，B是橢圓3x²+y²=m（m＞0）上不同兩點，線段AB的中點為N（1，3）．則m的取值范圍為（12，+∞），AB所在的直線方程為y=-x+4．

Answer 1

分析 由題意可得N在橢圓內(nèi)，代入橢圓方程解不等式可得m的范圍；設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用點差法和中點坐標公式，以及斜率公式，結合直線的點斜式方程，可得直線AB的方程．

解答 解：由題意可得N（1，3）在橢圓內(nèi)，
可得3+3²＜m，即有m＞12；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得3x₁²+y₁²=m，
3x₂²+y₂²=m，
相減可得，3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
即有AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{3（x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{3×2}{6}$=-1，
即有直線AB的方程為y-3=-（x-1），即為y=-x+4．
故答案為：（12，+∞），y=-x+4．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，考查點差法的運用，以及直線的斜率公式和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．