已知為實數(shù),數(shù)列滿足,當時,,
(Ⅰ);(5分)
(Ⅱ)證明:對于數(shù)列,一定存在,使;(5分)
(Ⅲ)令,當時,求證:(6分)
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意可得當時,成等差數(shù)列,當時,,可見由得出前項成等差數(shù)列,項以后奇數(shù)項為,偶數(shù)項為,這樣結(jié)合等差數(shù)列的前項公式就可求出;(Ⅱ)以和為界對進行分類討論,當時,顯然成立;當時,由題中所給數(shù)列的遞推關(guān)系,不難得到;當時,得,可轉(zhuǎn)化為當時的情況,命題即可得證; (Ⅲ)由可得,根據(jù)題中遞推關(guān)系可得出,進而可得出=,又,由于要對分奇偶性,故可將相鄰兩整數(shù)當作一個整體,要證不等式可進行適當放縮,要對分奇偶性,并結(jié)合數(shù)列求和的知識分別進行證明即可.
試題解析:(Ⅰ)由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而= (3分)
=. (5分)
(Ⅱ)證明:①若,則題意成立 (6分)
②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.
設(shè),則當時,.
從而此時命題成立 (8分)
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立.
綜上所述,原命題成立 (10分)
(Ⅲ)當時,因為,
所以= (11分)
因為>0,所以只要證明當時不等式成立即可.
而
(13分)
①當時,
(15分)
②當時,由于>0,所以<
綜上所述,原不等式成立 (16分)
考點:1.數(shù)列的遞推關(guān)系;2.等差,等比數(shù)列的前n項和;3.不等式的證明
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
| 第一列 | 第二列 | 第三列 |
第一行 | 3 | 2 | 10 |
第二行 | 6 | 4 | 14 |
第三行 | 9 | 8 | 18 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
數(shù)列的首項為(),前項和為,且().設(shè),().
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)當時,若對任意,恒成立,求的取值范圍;
(3)當時,試求三個正數(shù),,的一組值,使得為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流.某大學大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金,全部用作批發(fā)某種商品.銀行貸款的年利率為6%,約定一年后一次還清貸款.已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%,每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當月房租等其他開支1500元,余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營,如此繼續(xù),假定每月月底該商品能全部賣出.
(1)設(shè)夏某第n個月月底余元,第n+l個月月底余元,寫出a1的值并建立與的遞推關(guān)系;
(2)預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知點(1,)是函數(shù)且)的圖象上一點,等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為,且前項和滿足-=+().
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)求數(shù)列{前項和為,問>的最小正整數(shù)是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值.
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