Question

已知數(shù)列中，
（Ⅰ）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；；（Ⅱ）．

解析試題分析：（Ⅰ）已知數(shù)列中，，像這種分子為單項，分母為多項的遞推關(guān)系，常常采用取倒數(shù)法，即，這樣就得到的遞推關(guān)系，求證：是等比數(shù)列，只需證明等于與無關(guān)的常數(shù)即可，求的通項公式，由前面證明可知是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故能寫出，從而可得；（Ⅱ）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍，首先求出，而是數(shù)列的前n項和，故需求的通項公式，由，可得，這是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所組成的數(shù)列，求它的前n項和，可用錯位相減法來求得，從而求出的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）由知，，又是以為首項，為公比的等比數(shù)列，               6分
（Ⅱ），   
，   兩式相減得

                           9分

若n為偶數(shù)，則
若n為奇數(shù)，則
                           13分
考點：等比數(shù)列的判斷，數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列求和．