Question

4．正方形ABCD邊長為a，BC的中點為E，CD的中點為F，沿AE，EF，AF將△ABE，△EFC，△ADF折起，使D，B，C三點重合于點S，則三棱錐S-AEF的外接球的體積為$\frac{\sqrt{6}}{8}π{a}^{3}$．

Answer 1

分析 要求三棱錐的體積先找出可以應(yīng)用的底面和對應(yīng)的高，這里選擇三角形SEF做底面，得到結(jié)果．

解答 解：由題意圖形折疊為三棱錐，且由S出發(fā)的三條棱兩兩垂直，
補體為長方體${（2r）^2}={a^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}，\;\;4{r^2}=\frac{3}{2}{a^2}$，${r^2}=\frac{3}{8}{a^2}$，$r=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$，∴$V=\frac{4}{3}π{r^3}$=$\frac{4}{3}π{（{\frac{{\sqrt{6}}}{4}a}）^3}=\frac{4}{3}π\(zhòng);•\;\frac{{6\sqrt{6}}}{4^3}{a^3}=\frac{{\sqrt{6}}}{8}π{a^3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{8}π{a}^{3}$．

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的體積的求法，注意折疊問題的處理方法，考查計算能力．