Question

18．設變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則目標函數z=4^x•8^y的最大值為512．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據指數冪的運算法則先化簡z，然后令m=2x+3y，利用m的幾何意義以及利用數形結合即可得到結論．

解答 解：z=4^x•8^y=z=2^2x•2^3y=2^2x+3y，
設m=2x+3y
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由m=2x+3y得y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，
平移直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m，由圖象可知當直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m經過點B時，
直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$m的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
此時m_max=2×3+3×1=9，
則z_max=2⁹=512，
故答案為：512．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，結合指數冪的運算法則先進行化簡，通過數形結合是解決本題的關鍵．