Question

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率是

3

2

，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為4．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓長軸的左端點(diǎn)為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點(diǎn)，AB∥OP，點(diǎn)B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點(diǎn)，證明：

AB

•

AR

=2

OP

2．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的離心率結(jié)合長軸長及c²=a²-b²即可求得答案；
（2）由橢圓方程求出A的坐標(biāo)，設(shè)出P、B、R的坐標(biāo)，由P和點(diǎn)B都在橢圓上得兩點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，寫出直線AB的方程，把R的坐標(biāo)代入AB的方程得到B和R的坐標(biāo)的關(guān)系式，然后運(yùn)用坐標(biāo)的關(guān)系分別表示出等式

AB

•

AR

=2

OP

2的左右兩邊，從而問題得到證明．

解答：（1）解：根據(jù)題設(shè)，可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
則離心率e=

c

a

=

3

2

，c2=a2-b2(c＞0)，由橢圓定義，得2a=4
解得a=2，b=1，c=

3

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+y2=1
（2）證明：由題意得A（-2，0），設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（0，y₃），其中x₁＞0，y₁＞0，
點(diǎn)P和點(diǎn)B都在橢圓上，則有

x 2 1

4

+

y

2 1

=1①

x 2 2

4

+

y

2 2

=1②
由AB∥OP，有kOP=

y1-0

x1-0

=kAB=

y2-0

x2-(-2)

，
即

y1

x1

=

y2

x2+2

③
由x₁＞0，y₁＞0可知x₂≠-2．
AB直線方程為：y-0=k_AB[x-（-2）]，即y=

y2

x2+2

(x+2)．
把R（0，y₃）代入，得y3=

2y2

x2+2

所以有

AB

=(x2+2，y2)，

OP

=(x2，y2)，

AR

=(2，

2y2

x2+2

)，
可得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 2 2

x2+2

④
2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)⑤
由①，②，③得：

x

2 1

=x2+2⑥
由①，⑤得：2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)=2+

3

2

x

2 1

⑦
由②，④得：

AB

•

AR

=2(x2+2)+

2 y 2 2

x2+2

=5+

3

2

x2⑧
由⑦，⑥得：2|

OP

|2=2(

x

2 1

+

y

2 1

)=2+

3

2

x

2 1

=5+

3

2

x2⑨
由⑧，⑨可證得：

AB

•

AR

=2

OP

2．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了代值思想方法，解答此題的關(guān)鍵是在設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)后能找到各坐標(biāo)之間的關(guān)系，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．